Zwei Stabilitätsgrenzen statt einer Momentfrage
Eine lange, schnell drehende Kugelgewindespindel scheitert selten am Antriebsmoment. Sie scheitert an Stabilität: Unter Drucklast kann sie ausknicken, und bei hoher Drehzahl gerät sie in Biegeresonanz. Beide Grenzen hängen von derselben Größe ab – der ungestützten Länge L zwischen den Lagern – und zwar quadratisch: Wer L verdoppelt, viertelt die Knicklast.
Euler-Knicklast
Die theoretische Knicklast folgt dem Euler-Ansatz; zulässig ist F_k/S. Für Kugelgewindetriebe gilt S ≥ 2 als katalogübliche Faustregel; bei Personengefährdung höher – verbindlich ist die Herstellerangabe. Das Flächenträgheitsmoment I hängt dabei von der vierten Potenz des Kerndurchmessers d_r ab – 16 statt 14 mm bedeuten schon rund 70 % mehr Knicklast:
I = π · d_r⁴ / 64
F_k = n_L · π² · E · I / L²
F_k = Knicklast (N) · E = 210.000 N/mm² (Stahl) · d_r = Kerndurchmesser (mm) · L = ungestützte Länge zwischen den Lagern (mm) · n_L = Lagerungsbeiwert. Kataloge nähern d_r teils als Nenndurchmesser minus Kugeldurchmesser.
Gültigkeit: Die Euler-Formel gilt nur für schlanke Spindeln. Maß ist die Schlankheit λ = L / (√n_L · d_r/4); Euler gilt erst oberhalb der Grenzschlankheit (Faustwert für Stahl rund 90–105, im Zweifel den höheren Wert). Bei kurzen, gedrungenen Spindeln gilt das Knickdiagramm des Herstellers. Zweite Grenze: Unabhängig von der Knicklast begrenzen die zulässige Druckspannung der Spindel sowie die Tragzahlen von Mutter und Festlager die Axialkraft – maßgeblich ist der kleinste Wert.
Lagerungsarten und ihre Beiwerte
Die Lagerung steckt vollständig im Beiwert n_L – von 0,25 (Fest–Frei) bis 4 (Fest–Fest), also Faktor 16 zwischen der schlechtesten und der besten Anordnung. Entscheidend ist dabei, wie stark ein Lager das Spindelende gegen Verkippen einspannt – es sind Biege-Randbedingungen, nicht die Frage, ob das Lager die Spindel axial festhält. Dieselbe Systematik liefert den Drehzahlbeiwert f_n für die kritische Drehzahl:
- Fest–Fest (beide Enden eingespannt, z. B. Schrägkugellagerpaar): n_L = 4 · f_n = 27,6
- Fest–Gelenkig (ein eingespanntes Festlager, ein Loslager): n_L = 2 · f_n = 19,0
- Gelenkig–Gelenkig (beide Enden kippbeweglich gelagert): n_L = 1 · f_n = 12,2
- Fest–Frei (ein Ende eingespannt, das andere frei): n_L = 0,25 · f_n = 4,3
Kritische Drehzahl
Bei hoher Drehzahl gerät die Spindel in Biegeresonanz. Die kritische Drehzahl n_krit ist die Drehzahl, bei der diese Resonanz einsetzt; als zulässig gilt 80 % davon:
n_krit = f_n · (d_r / L²) · 10⁷
n_zul = 0,8 · n_krit
n_krit, n_zul in min⁻¹ · d_r, L in mm (Zahlenwertgleichung, Beiwerte für Stahl: E = 210.000 N/mm², ρ = 7,85 kg/dm³). Zusätzlich begrenzt der Drehzahlkennwert der Mutter (d₀ · n) die Drehzahl – der kleinere Wert zählt. Achtung beim Vergleich mit Katalogen: Manche rechnen den Faktor 0,8 schon in den Beiwert ein (dann rund 9,7 / 15,1 / 21,9 / 3,4) und liefern direkt n_zul – nicht noch einmal mit 0,8 multiplizieren.
Kugelgewindetrieb-Kataloge setzen für die Axialkraft höchstens 50 % der Knicklast an (Sicherheit S = 2) – eine katalogübliche Faustregel für Kugelgewindetriebe; bei Personengefährdung höher, verbindlich ist die Herstellerangabe. Der Kugelgewindetrieb-Rechner ist mit dem strengeren Wert S = 2,5 vorbelegt. Hubgetriebe-Hersteller rechnen für die Spindel oft mit einer Knicksicherheit von 3; verbindlich ist auch hier die Herstellerangabe.
Wichtiger Hinweis
Rechenbeispiel
Gegeben
Kerndurchmesser d_r = 15 mm, Lagerabstand L = 800 mm, Lagerung Fest–Gelenkig (n_L = 2, f_n = 19,0).
Berechnung
- I = π · 15⁴ / 64 ≈ 2.485 mm⁴
- F_k = 2 · π² · 210.000 · 2.485 / 800² ≈ 16.095 N → zulässig (S = 2): F_zul ≈ 8.048 N
- Schlankheit λ = 800 / (√2 · 15/4) ≈ 151 – deutlich über der Grenzschlankheit, Euler gilt
- n_krit = 19,0 · (15 / 800²) · 10⁷ ≈ 4.453 min⁻¹ → n_zul = 0,8 · 4.453 ≈ 3.562 min⁻¹
Zum Nachrechnen: Kugelgewindetrieb-Rechner (öffnet in neuem Tab)
- Markierter Punkt 1: Beispiel: 16.095 N
- Markierter Punkt 1: Beispiel: 16.095 N
Beschreibung und Werte der Abbildung
Alle vier Kurven gelten für einen Kerndurchmesser d_r = 15 mm und einen Lagerabstand L von 800 bis 1.600 mm und fallen mit dem Quadrat von L. In diesem Bereich liegt die Schlankheit aller Punkte bei 107 oder darüber – die Spindel ist schlank, die Euler-Formel gilt. Fest-Fest (Lagerungsbeiwert 4) erträgt die höchste Last, Fest-Frei (Lagerungsbeiwert 0,25) die niedrigste. Die hervorgehobene Kurve Fest-Gelenkig entspricht der Lagerungsart des Rechenbeispiels dieser Einheit (L = 800 mm, 16.095 N). Die gestrichelte Linie zeigt die zulässige Last F_zul=F_k/2 mit Sicherheitsfaktor S=2 (katalogübliche Faustregel; der verlinkte Online-Rechner nutzt standardmäßig S=2,5, das ist kein Widerspruch, nur ein anderer Standardwert). Die gestrichelte Linie fällt mit der Kurve Gelenkig-Gelenkig zusammen (2/2 = 1).
| Lagerabstand L (mm) | Fest–Fest (n_L=4) (N) | Fest–Gelenkig (n_L=2) (N) | Gelenkig–Gelenkig (n_L=1) (N) | Fest–Frei (n_L=0,25) (N) | F_zul = F_k/2 (S=2, bezogen auf Fest-Gelenkig) (N) |
|---|---|---|---|---|---|
| 800 | 32.191 | 16.095 | 8.048 | 2.012 | 8.048 |
| 1.000 | 20.602 | 10.301 | 5.151 | 1.288 | 5.151 |
| 1.200 | 14.307 | 7.154 | 3.577 | 894 | 3.577 |
| 1.400 | 10.511 | 5.256 | 2.628 | 657 | 2.628 |
| 1.600 | 8.048 | 4.024 | 2.012 | 503 | 2.012 |
Wissenscheck
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