Was eine Evolvente ist
Fast jedes moderne Zahnrad trägt eine Evolventenverzahnung. Die Evolvente eines Kreises ist die Kurve, die entsteht, wenn man einen gespannten Faden vom Grundkreis abwickelt und den Endpunkt des Fadens verfolgt. Jede Zahnflanke folgt genau dieser Kurve.
Daraus folgt das Grundgesetz der Verzahnung: Die gemeinsame Normale im Berührpunkt zweier im Eingriff stehender Zahnflanken muss stets durch den Wälzpunkt auf der Verbindungslinie der Radmittelpunkte gehen. Bei der Evolvente ist diese Normale die gemeinsame Tangente an beide Grundkreise. Deshalb bleibt die Übersetzung konstant – selbst wenn sich der Achsabstand durch Montagetoleranzen geringfügig ändert (dann verschieben sich lediglich Wälzpunkt und Betriebseingriffswinkel).
Genau diese Toleranzunempfindlichkeit, zusammen mit der wirtschaftlichen Fertigung im Wälzfräs- und Wälzstoßverfahren (ein Werkzeugmodul deckt alle Zähnezahlen desselben Moduls ab), macht die Evolventenverzahnung nach DIN 3960/DIN 867 zum Standard im Maschinenbau.
Beschreibung und Werte der Abbildung
Der Grundkreis hat den Radius r_b=40 mm. Die Evolvente entsteht, wenn man eine gespannte Schnur vom Grundkreis abwickelt: ihr Endpunkt zeichnet die Kurve x(θ)=r_b·(cos θ + θ·sin θ), y(θ)=r_b·(sin θ − θ·cos θ). Mit zunehmendem Abwickelwinkel θ entfernt sich die Kurve immer schneller vom Grundkreis. Der gestrichelt eingezeichnete Wälzkreis mit r≈42,57 mm markiert den Radius, an dem der Eingriffswinkel α=20° gemessen wird.
| θ (rad) | x (mm) | y (mm) |
|---|---|---|
| 0,0 | 40,00 | 0,00 |
| 0,1 | 40,20 | 0,01 |
| 0,2 | 40,79 | 0,11 |
| 0,3 | 41,76 | 0,36 |
| 0,4 | 43,07 | 0,84 |
| 0,5 | 44,69 | 1,63 |
| 0,6 | 46,56 | 2,78 |
Der Eingriffswinkel α
Der Eingriffswinkel α ist der Winkel zwischen der Eingriffslinie (der Kraftwirkungslinie zwischen den kämmenden Zahnflanken) und der Tangente an den Wälzkreis im Wälzpunkt. Er ist bei Evolventenverzahnung zugleich der Flankenwinkel des Werkzeug-Bezugsprofils.
| Eingriffswinkel | Tragfähigkeit | Lagerkraft | Typischer Einsatz |
|---|---|---|---|
| 14,5° | gering | niedrig | ältere Normen, Feinwerktechnik |
| 20° (Standard) | mittel | mittel | allgemeiner Maschinenbau (DIN 867) |
| 25° | hoch | höher | Hochleistungsgetriebe, kleine Zähnezahlen |
20° ist deshalb Standard, weil er ausreichende Zahnfußdicke, moderate Radialkraft auf die Lager und gute Fertigungseigenschaften vereint. Ein größerer Winkel steigert die Tragfähigkeit und senkt die Unterschnittgrenze – erzeugt aber höhere Lagerkräfte.
Teilkreis und Wälzkreis: zwei verschiedene Dinge
Der Teilkreis (d = m·z) ist eine feste Eigenschaft des einzelnen Zahnrads – er ändert sich nicht. Der Wälzkreis dagegen ist eine paarungsabhängige Größe: Er entsteht erst im Zusammenspiel zweier Räder, dort, wo die Umfangsgeschwindigkeiten beider Räder gleich sind (der Wälzpunkt).
Bei Standardverzahnung mit normgerechtem Achsabstand fallen Teilkreis und Wälzkreis zusammen. Wird der Achsabstand vergrößert oder eine Profilverschiebung eingesetzt, wandert der Wälzkreis nach außen, und der Betriebseingriffswinkel weicht vom Bezugswert 20° ab.
Profilverschiebung: Unterschnitt vermeiden
Unterhalb einer Zähnezahl von z ≈ 17 (bei 20° Eingriffswinkel) entsteht Unterschnitt: Das Werkzeug-Bezugsprofil schneidet beim Wälzfräsen Material am Zahnfuß weg, weil es die Evolvente dort unterschreitet. Das schwächt den Zahn und verringert die Überdeckung.
Abhilfe schafft eine positive Profilverschiebung x·m: Das Werkzeug-Bezugsprofil wird radial nach außen verschoben, wodurch es die Evolvente nicht mehr unterschneidet. Als Richtwert für die nötige Mindest-Profilverschiebung gilt:
x_min ≈ (17 − z) / 17
x_min = Mindest-Profilverschiebungsfaktor · z = tatsächliche Zähnezahl (bei 20° Eingriffswinkel)
Merksatz
Rechenbeispiel
Gegeben
Ein kleines Ritzel mit Modul m = 2 mm soll aus Bauraumgründen nur z = 14 Zähne haben – unterhalb der Grenzzähnezahl 17 bei 20° Eingriffswinkel.
Berechnung
- Mindest-Profilverschiebung: x_min ≈ (17 − 14) / 17 = 3 / 17 ≈ 0,18
- Absolute Verschiebung: x_min · m ≈ 0,18 · 2 mm ≈ 0,35 mm
Mit dieser positiven Profilverschiebung von rund 0,35 mm bleibt der Zahnfuß auch bei nur 14 Zähnen frei von Unterschnitt – die endgültige Auslegung erfolgt nach DIN 3960.
Wissenscheck
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